Рассказ «Теорема Ферма»

Рассказ «Теорема Ферма»

Представляем Вашему вниманию рассказ, который назван вроде бы и прозаично, но, тем не менее, затрагивает серьезные вопросы проявления Духа в нашем мире.

В сущности, всё, что было предпринято, сродни бесконечному поиску истины. Вот, вроде бы, она, истина, рядом, и решение будет найдено, но нет, с каждым шагом истина, её точная формулировка, вновь и вновь ускользает.

Рассказ, в первую очередь, о друзьях, которые отправились в это отчаянное путешествие движимые силой, которая не действует в сфере обыденных дел и событий.

Как сказано в одной книге – «здесь нужно нечто большее, чем алчность — нужно иметь любовь, любовь к жизни, к авантюре, к тайне. Нужно иметь неиссякаемое любопытство и стальные кишки».

Как сказал Поэт – «нас спасут немотивированные акты красоты». Именно об этом и есть рассказ.

Скачать рассказ можно по этой ссылке.

Посвящение рыцарям пустыни Бетпак-Дала, активным участникам создания сложнейшей системы противоракетной обороны страны: Железнову Игорю Григорьевичу, Рыжкову Георгию Алексеевичу.

Благодарность: добровольному собирателю по крупицам не казенной истории жизни создателей системы ПРО, автору сайта Котову Павлу Михайловичу.

Моей дочери Валентине, создавшей из рукописных неразборчивых записей электронную версию рассказа.

Рассказ «Теорема Ферма»

Пьер Ферма, загадочный француз, по роду занятий – юрист, по занятиям для души – математик. Яркий, сильный, неожиданный и глубокий, сформулировал теорему, названную Великой. Он сделал запись о своей Великой Теореме, которая более трех столетий будоражила мир. «Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях». Под полями имелась в виду книга Диофанта Александрийского «Арифметика» (III век), которую Ферма держал, как настольную, делая пометки на ее полях.

для   (где n- целое положительное число) не имеет решений в целых ненулевых числах (х, у, z – целые ненулевые числа).

Это и тогда звучало интригующе. С другой стороны, Геттингенское математическое общество объявило в завещании Вольфскеля о премии в 100 000 марок представившему доказательство теоремы Ферма. За первые три года поступило более тысячи «решений», но премия до сих пор вроде бы не выдана.

С тех времен образовалась каста «фермистов», так полупрезрительно в кругу математиков называли всякого самоуверенного выскочку, посягнувшего на доказательство и получившего «отлуп». Программисты, оседлавшие электронно-вычислительные машины, решали задачу «в лоб», увеличивая   и перебирая целые числа натурального ряда. Одна бы удачная находка и теорема опровергнута. Но «увы» и «ах», теорема устояла.

Нынче многие знают, что теорема доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом, с опорой на «гипотезу Таниямы». Доказывалась она драматично, с общественным провалом после публикации в 1993 году (Кац заметил, что один фрагмент рассуждений опирался на «систему Эйлера», но то, что построил Уайлс, такой системой не являлось). Трагедия, опять доказательства нет… Но через год удалось «систему Эйлера» заменить на теорию Ивасавы, и уже исправленный вариант доказательства проверялся весь следующий год. Летом 1995 года в «Анналах математики» было опубликовано доказательство гипотезы Таниямы, что было означено как эквивалент доказательству Великой теоремы Ферма. Доказательство занимало свыше ста листов, а понимало его в мире несколько десятков человек. Более трех с половиной веков понадобилось человечеству на доказательство этой теоремы. Поля «Арифметики» Диофанта действительно оказались малы для этого.

Но Пьер Ферма писал о поразительном, чудесном доказательстве, таком, что займет место несколько больше, чем поля книги. Каково?

Интрига мирового масштаба…. Три с половиной века она приводила на старт поиска решения поколение за поколением. Можно вспомнить труды тех, кто искал рецепт получения золота. Сколько прекрасных побочных результатов было достигнуто, сколько экспериментов и пробных решений удалось получить. Но адепты хранят молчание.

***

И когда наступил миллениум, года сменили тысячелетие, в эту воронку втянуло трех человек: Егора Феррумова, Жоржа Георгена и Вениамина Снежко.

Триада сложилась случайно. Георген, товарищ Вениамина по службе в пустыне, всю жизнь работал программистом на вычислительных комплексах противоракетной обороны, контроля космоса, системы предупреждения о ракетном нападении. В какой-то момент, прочитав о чудесном доказательстве Ферма, Жорж загорелся и с упорством золотоискателя стал копать, выискивая возможный ход доказательства с применением вычислительных машин. После годовых упорных трудов Георген начал получать результаты, сначала выстраивая косоугольные треугольники, затем используя биномиальные формулы и некоторые самодеятельные подстановки. Исследования перешли в хобби, а зрителей, кроме домашних не было.

Волноваться в одиночку было неестественно, и Георген стал подыскивать личность, с кем бы можно было поделиться. Он вспомнил, что Снеж кончил мехмат МГУ, взаимоотношения были дружескими, и он «тихой сапой» подкатился к Веньке с просьбой побыть цензором и оценщиком выпекаемых вариантов. Георген верил Пьеру Ферма и сразу свел требуемый объем доказательств в один лист. Эта театральность подкупила Веньку и, не чуя беды, он согласился на разовую оценку трудов товарища. Довольно быстро нашел изъяны в доказательстве, и Георген, сокрушаясь, смиренно согласился. Но через пару дней он принес исправленное решение. За «заземлением» этого варианта, следовал новый: «ну вот это, кажется, то, что надо» проговаривал Жорж, и вместо отвергнутого варианта возникал следующий. Снеж понял, что приблизился к источнику наркотического действия, бившему как ключ из-под земли, и заткнуть его практически невозможно. Снеж уже начал проникаться проблемой и становился катализатором, способствовавшим протеканию химической реакции, где нужный выход – способ доказательства Великой теоремы Ферма на двух листах.

Снеж сформулировал Жоржу, что он не претендует на соавторство, честно анализирует вариант и выносит оценку, но просит провозгласить срок окончания этой работы, а если она бессрочна, то просит освободить его от этого счастья. Жил нормально, а теперь втянут в процесс, без конца и края. Он попал в секту фермистов. Полундра! Такой благопристойный товарищ и с таким «заболеванием». Вот он «черный квадрат» Малевича, шедевр и загадка, от которой свихнуться недолго.

Режим «отлупа», когда Снеж быстро находил слабину в очередном варианте доказательства, начал выдыхаться. Георген, словно кибер, устранял недостатки и давал более кондиционные решения, где не сразу сообразишь, где пена.

Эпоха дипломатического сдерживания подошла к концу и нужен был организационный ход. Снеж предложил зафиксировать последний вариант и послать его на  редакцию в математический или учебный журнал. Или найти титана математической мысли. А кого?

Егор Феррумов, мыслитель, товарищ по службе и дипломированный ученый, пользовался у Снежа безупречной репутацией. Работая в Сары-Шагане, он проштудировал все 12 томов математики Смирнова, глубоко постигая приложения и красиво используя математику в практической работе. Егор после Азии работал с Вениамином Снежко в Московском военном НИИ по одной тематике космического эшелона предупреждения о ракетном нападении.

Снеж договорился о встрече триумвирата (Егор, Георген и Снеж), где вариант Георгена был подвергнут анафеме и безжалостно указаны места, неприемлемые в доказательстве. Мало того, сюрпризом стало «алаверды»: вариант конструкции доказательства самого Егора. Оказалось, он уже около 30 лет покусывал эту проблему, решая её то в «круге», тригонометрическими формулами, то с позиций косоугольного треугольника, то с подходом от диофантовых уравнений.

Снеж и Георген получили по варианту доказательства теоремы Ферма на двух листках от Феррумова. Вот это – да!

Снеж хотел притушить один источник, а получил второй!

Кстати, Великая теорема Ферма стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

МИР ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ

Начиная подниматься с колен и возводя глаза вверх, человечество начало считать съедобные плоды на деревьях. Если было 7 орехов, а два кто-то умыкнул, то обладатель орехов понимал, что его ограбили на два ореха. Счет стал важнейшим делом, а все сведения о счете сосредоточились в математике. Целые и дробные рациональные числа (вида a/b), где а,b – целые числа, составили первоначальный уровень численного описания мира.

С. Сингх писал: «Для Пифагора идея красоты математики состояла в том, что рациональные числа (целые числа и обыкновенные дроби) позволяют объяснить все явления в природе. Эта путеводная философия ослепила Пифагора, не давая ему увидеть существование иррационального числа. Иррациональное число при представлении десятичной дробью, представляет собой бесконечную дробь, структура которой не будет регулярной и сколько-нибудь обозримой».

Пифагор Самосский – высокий, красивый, сильный мужчина, носивший  бороду. Он никогда не плакал, был недоступен страстям и волнениям. Пифагор был чемпионом Олимпийских игр по кулачному бою в молодости, позднее предался путешествиям и размышлениям. Он побывал в Египте, Вавилоне, Индии, Тибете, Китае и никогда, и нигде не переставал учиться мудрости. Его разум был очень свободным и открытым для любого учения. Человек открыт Истине только тогда, когда его непредубежденный разум сомневается, учится и исследует жизнь. Очень немногие, оставив повседневную суету, исследуют природу вещей и познают истину. Этих последних Пифагор называл философами, любителями мудрости. «Космос» по Пифагору обозначал безграничное. Он построил букву Y, моделируя человеческую жизнь: нижняя ее черточка – это ранний возраст, когда ребенок не определился и не предался ни добродетели, ни порокам. С отрочества идет развилка: правый путь труден, но устремлен к блаженной жизни, левый – легче, но уводит человека к падению и гибели. Для любого человека есть свои границы миропонимания, для Пифагора – это попытка понятия и непринятие иррационального числа. Великий и легендарный древнегреческий математик Пифагор называл эти числа математическими «зверями». Он не мог согласиться, что они не могут быть выражены через обыкновенную дробь.

Один из учеников пифагорейской школы, Гиппас, упражнялся с числом , пытаясь найти ему эквивалент из простой дроби (отношением целых чисел а, b). Гиппас внезапно понял, что такого эквивалента нет. Гармония рушится – существуют числа, которые отношением целых не являются. Ученики Пифагора пришли в смятение, старались держать это открытие в секрете. А Гиппас из Метапонта разгласил людям тайну существования несоизмеримых величин.

В школе нас знакомят с числом π = 3,14. Число π в виде десятичной дроби невозможно представить, так как она получается бесконечной, и в распределении цифр нет никакой закономерности. Пифагор был вне себя от ярости, терялся смысл существования. Он не хотел признать свои заблуждения и в то же время не мог разрушить аргументацию Гиппаса силой логики. В дальнейшем с Гиппасом случилась беда – он утонул. Некоторые источники говорят, что Пифагор, отец логики и математического метода, прибег к силе, но так и не признался, что был неправ.

Ямвлих, античный философ, записал, что пифагорейцы, накликая на голову Гиппаса несчастья, вырыли ему символическую могилу, «как будто некогда бывший их товарищ, в самом деле, ушел из жизни». И небо покарало его, он утонул во время шторма. А автор книги о «Великой теореме Ферма» физик Саймос Сингх приводит более жесткую версию: Пифагор приговорил Гиппаса к утоплению. Это было его самым позорным деянием и величайшей трагедией греческой математики.

Введение иррациональных чисел означало гигантский прорыв в математике. Математик Кронекер писал: «Бог создал целые числа; все остальное дело рук человеческих».

Удивление и досада, с которыми греки вначале восприняли иррациональные числа, впоследствии сменились интересом и вниманием к новым математическим объектам. Феодор Киренский (IV век до н.э.) доказал иррациональность чисел .  Его ученик Театет обосновал иррациональность всех чисел вида , где N – целое число, не являющееся точным квадратом. Театет на этом не остановился и доказал, что иррациональны все числа вида , где N— целое число, не являющееся точным кубом.

ЛИРИЧЕСКАЯ КОМПОНЕНТА

Работая за интерес, три человека (Егор, Жорж и Вениамин) попробовали объединить усилия для достижения мечты – повторить доказательство Пьера Ферма, коротко и поразительно емко, на двух-трех листах. Это были искатели клада – способа доказательства простого и прозрачного. Мощный профессионал Феррумов, романтичный мечтатель Георген, решающий задачи на современных вычислительных машинах, и, доморощенный философ с дипломом мехмата Снежко, попавший в компанию по случаю. Они встречались втроем, в подсобке военного института, излагали заготовки, радовались, спорили, недоумевали и варились в этой игре.

Егор, как только была представлена какая-то формализация, сразу вел дело к преобразованиям и анализу. Георген, прибывший с расчетами на вычислителях, где, казалось бы, стоило подтолкнуть и решение засветится железным результатом, чудесным решением, привносил важные детали, но предельный переход не находился. Снежко работал катализатором, похваливая любой добротный ход, уходя в неопределенность (сомнительно, сомнительно очень…) или не воспринимая громоздкие конструкции. Ждал появления физически ощутимого признака или поворота в цепочке выписываемых формул и доказательств.

Егор повел тему вперед в построении доказательства и требовал быстрой реакции на новые посылы. Георген и Снеж, желавшие варианта простого и ясного, не могли поддакивать быстрой комбинаторике Егора, вызывая его досаду.

Однажды он написал вариант и, не получив быстрой оценки, предложил от себя его московским математикам в Университете. Они вроде бы нашли изъяны. Егора это подстегнуло, и он сделал более крепкий и аккуратный вариант в виде отдельной книжки на эту тему.

Егор показал эту книгу своим приятелям – любителям Ферма. Жорж, посмотрев публикацию, замкнулся и долго отмалчивался. Затем показал Вене свои формулы, которые он предоставлял на обсуждение, и объяснил, что первичная формализация взята у него, и это помогло доказательству. Но об этом в предисловии он никаких ссылок не обнаружил.

Снеж загрустил: опять сложение бескорыстных дел привело к отрицательному результату, к взаимному недопониманию. Сам Снеж ни на что не претендовал, его предложения по методу математической индукции в книге не использовалось. Но напряжение, возникшее среди уважаемых им товарищей, начало угнетать. Нет, не было произнесено вслух упреков и претензий, но обида на публикацию образовалась. Снеж вспомнил «Золотую Розу» Паустовского. Жан Шамет, бывший солдат, ставший мусорщиком, собрал по крупицам золотую пыль от изготовления золотых украшений, собирал порошок много-много лет и отдал ювелиру изваять из него розу. Для своей мечты, для девочки, которую он боготворил и которая была дочерью его полкового командира. Это созвучно пугачевской песне «Миллион алых роз», которые бедный художник купил один раз на все средства, что у него были, для своей женщины, для своей мечты.

Музой Жоржа была красавица – теорема Ферма в блестящем, коротком варианте доказательства. Он мечтал о доказательстве или хотя бы о существенном вкладе в участие.

Снеж знал, что Егор не жадный человек, по жизни — интеллектуал и мастер, многим помогавший в решении сложных задач, диссертаций, методов исследований. А тут не посчитал нужным отметить участие Георгена. Вопрос очень деликатный, на уровне: когда возвышенность начинает считаться горой? Горсть земли вложил – это вклад? Будет ли у этой темы продолжение? Не знаю.

Снеж не брался судить, просто было досадным это недопонимание, возникшее среди симпатичных ему людей. С каждым по пуду соли съел.

Найдется ли с десяток человек, проявивших интерес, терпение и волю дочитать до конца? Но будет один, Сергей Бакшеев, который, наверное, прочитает. Он написал «Тайну точной красоты», интересную параллельную версию близкой темы по теореме Ферма.

ПОПЫТКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
на школьном уровне на двух печатных листах.

Теорема Пьера Ферма, доказанная Уайлсом в 1995г. на 130 страницах, основана на следствии гипотезы Таниямы-Шимуры.

Повторим формулировку:

(1)

Для любого натурального числа  (n — целое положительное число) уравнение (1) не имеет решений в целых ненулевых числах (x, y, z). На множестве положительных действительных чисел (0 < x,y,z < ∞) уравнение (1) имеет бесконечное число решений, а в целых числах по теореме Ферма ни одного.

Попробуем предположить, что Пьер Ферма понял или почувствовал принцип доказательства теоремы. На чем это может быть основано? Пьер держал на столе «Арифметику» Диофанта. Ему импонировали представление диофантовых уравнений, квадратичные формы, похожие по виду на теорему Пифагора.

Начиная работать с проблемой доказательства теоремы Ферма, товарищ Снежа, Георген, попробовал решать квадратичное уравнение Ферма, используя параметрическое определение числовых троек (X, Y, Z). Для этого им были введены вспомогательные переменные (k, p, d).

Установив Z = X + k, Z = Y + d  и выполнив алгебраические преобразования:

.

, получаем .

При использовании подстановки , получается параметрическое представление решений уравнения Ферма при .

,
определяющее все решения (X, Y, Z) уравнения Ферма при   для любых заданных (d, p). Такая заготовка Георгена могла облегчить дальнейшие аналитические исследования.

Наш друг, Егор Феррумов изящно, в несколько строк преобразований, перевел в запись через квадратичную форму заданное уравнение (1).

Введем степенные функции:

(2),

где  (0 < X, Y, Z <  ∞)  D — множество действительных чисел.

После подстановки (2) в (1), получаем эквивалентную форму записи:

(3)

Похожа на теорему Пифагора? Конечно.

Получаем:

(4)

Здесь очень помогла подстановка сэра Георгена: .

Тогда из соотношения (4) получаем:

(5)

(0 < d <  ∞, 0 < p <  ∞) D — множество действительных чисел.

Совместное использование выражений (2) и (5) позволяет записать общее решение уравнения (1) в виде:

(6)

Записанные уравнения зависят от параметров , которые в соответствии с принятым способом их определения оказываются независимыми друг от друга величинами. Вот с этого места Снежко почувствовал, что теорема верна. И вот почему: , параметр с областью определения (0 <  < ∞), а переменные ( выражаются как:

(7)

Если в (6) задавать x, y (пусть  ) целыми числами из натурального ряда m=1, 2, 3… (бесконечное множество чисел, расположенное в определенном порядке), то мы пройдем все ситуации для тройки чисел   из теоремы Ферма. Поскольку мы задаем первые два неизвестных   целыми числами, то достаточно один раз получить  целым числом, как теорема опровергается. В век вычислительных машин удалось прямым вычислением проверить огромное число вариантов, теорема Ферма стояла незыблема!

Почему? Думается, что Ферма, зная квадратичные формы, дошел до формул (6, 7) и увидел «ловушку иррациональности» в (7, в). Посмотрите на формулу (7, б) и (7, в). (7, б) соответствует всегда целому числу в связи с перебором , как чисел натурального ряда. А (7, в)? Оно отличается в выражении степенной функции (под корнем) всего на 1:

Если (7, б) соответствует целому числу, то (7, в) не может соответствовать целому!

Встретились, слева в (1), мир целых чисел, красивых, удобных, справа с математическими «зверями» (по Пифагору). Справа в любой степенной функции (1) для   выражения

…   (8)

не могут быть целыми. И это принципиальная особенность всех чисел справа формулы (1), т.е. (z), для любых показателей степенной функции и любых выбранных целых чисел (x,y).

Егор Феррумов аккуратно довел доказательство через анализ формульных выражений. Снежко, пытаясь упростить доказательство, предложил метод математической индукции, доступный даже школьному курсу математики. Напомним суть метода.

Если какое-то утверждение A(n), где n  N, истинно для n = 1 и из того, что оно истинно для n = k следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, (k — любое натуральное число), то утверждение A(n) истинно для любого натурального числа  n.

Физический смысл этой процедуры в том, что если изначально (для n = 1) утверждение A(n) верно, то проходя все натуральные числа и предполагая, что A(n) верно для n = k, доказывают справедливость утверждения A(n) для n = k + 1. Из A(k) A(k+1).

Если обе части доказательства приведены, то на основании принципа математической индукции утверждение A(n) истинно для любого натурального n.

Пользуясь выражениями (6) и (7) и помня, что , где d  D (множество действительных чисел), запишем исходное уравнение (1) как:

.

Получили:

 (9)

Проводим доказательство для начальных условий, т.е.  выбираем первые числа натурального ряда (k = 1,2,3…)  x = 1, y = 2, n = 3:

, z = 2,08008…, z — не является целым числом.

Для дальнейших рассуждений достаточно иметь дело с выражениями:

(10)

(11)

Проанализируем, при каких параметрах число  могло бы соответствовать целому числу z.

Если принять:

, где   (12)

для ,  ближайшее целое число z было бы

откуда:  с = 2,3677 (13).

Таким образом, проверяя метод математической индукции для начальных условий А (1) при , , получили целое число z  по формуле (12) при значении с = 2,3677

Таким образом, для начальных условий А (1) получить  целое по формуле (11) невозможно. Оказывается, это закономерность, что для получения целого значения  подкоренное выражение (11) должно быть изменено на (12).

Применяя метод математической индукции для A(k) и A(k+1), получаем для тех же параметров

1 (16)

Для    , получим  1 (17)

При подстановке  значение  увеличивается и эта тенденция сохраняется. Из чего следует принципиальный вывод, что в значении степенной функции  целых чисел (z) получить нельзя. Здесь:  — целое число по определению.

При любых целых значениях: x, y и  нет целых чисел z, удовлетворяющих (1). Ближайшие к (y)  целое число (z) требует под корнем вместо 1 числа C большее единицы в несколько раз. Здесь 99,9%  читающих окончат читать, поэтому остальное — для 0,01%.

Возможно, маститые математики найдут изъяны в простоте доказательства, тогда придется выдвинуть вариант Егора Феррумова по поиску «чудесного» доказательства теоремы Ферма на 27 страницах.

ПРИТЧА О БЕЛКЕ И ДРОБЛЕНЫХ ОРЕШКАХ

Как-то Снежко задумался, а как бы он пробовал объяснить теорему Ферма внуку и внучке, которые заканчивают начальную школу?

Пусть в школе их научили умножать одинаковые числа друг на друга.

В дубраве жила белка  затейница с бельчатами. Она придумала игру в орешки. У Левы 3 орешка, у Саши 4 орешка. Мальчик Петя говорит, что все целые орешки он передает для белочки, согласной взять подарок для бельчат, если ни один орех не сломан. Решение составляет целое число орешков. Она обещает вернуть скорлупки золотыми монетками. Отдали Лева и Саша свои орешки, Петя сосчитал: 7 штук, целых. За сломанный орех белка не дает ничего, еще и укусить может. Петя хотел накопить денег на велосипед и, получив от белки расчет, сам рассчитаться с ребятами не торопился. Сказал, что банк проверяет настоящие ли деньги. 3 +4 = 7, запомним.

На следующий раз белка предложила правила пифагоровой игры: 3*3+4*4=9+16=25=5*5. Количество орешков каждый умножает на такое же число орешков. Складываем, получаем сумму расчета для белки. Но Петя должен подобрать число, которое при умножении  на самого себя давало бы сумму расчета для белки. Найденное число и составляет награду от белки. Петя снова не торопился расплатиться, оставил полученные 5 монет у себя. Третий раз белка предложила Пете сыграть в теорему Ферма. Петя согласился, видя, что денег прибывает. Белка сказала Пете: пусть теперь те же цифры каждый умножит трижды, а ты сложи и найди подходящее число для расплаты со мной.  3*3*3+4*4*4=27+64=91. Петя исписал много листов бумаги и не смог найти целого числа, а когда спросил у одного студента какое число нужно представить белке, тот написал 4,497941. Он показал белке решение, она его укусила. Это была улыбка Пьера Ферма.

УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ ЕГОРА ФЕРРУМОВА

Дано: уравнение Ферма , где n — целое положительное число и  (1). Необходимо доказать, что уравнение Ферма не имеет решений на множестве целых положительных ненулевых действительных чисел (x, y, z).

Доказательство.

Известно, что на множестве положительных действительных чисел (0 < x, y, z < ∞)  D уравнение Ферма (1) имеет бесконечное число решений.

Для определения этих решений обозначим:

(0 < X, Y, Z <  ∞)  D, (2),

после чего исходное уравнение (1) можно записать в эквивалентной форме

(3)

Далее, подставляя выражения Z = X + k; Y = Zd = X + k d в уравнение (3), находим  и получаем:

, , . (4)

Полагая , из соотношений (4) следует:

, , , (0 < d <  ∞, 0 < p <  ∞)D (5)

Приведенные выражения, определяющие всю совокупность решений (0 < X,Y,Z < ∞)D уравнения (2), зависят от параметров d и p, которые в соответствии с принятым способом их определения оказываются независимыми друг от друга величинами.

Совместное использование выражений (2) и (5) позволяет общее решение уравнения (1) записать в виде:

,   ,     , (6)

где  — параметр с областью определения (0 <  <  ∞), а переменные ( таковы:

, , ,    (0 < <  ∞)  D.(7)

Используя полученные соотношения, рассмотрим две возможные ситуации.

Первая ситуация соответствует условиям, когда n – четное число, а относительно переменных  (x, y, z) выдвинута гипотеза H0 о том, что они являются целыми числами. Для этих условий нетрудно доказать, что переменные (X, Y, Z) являются целыми числами. Более того, они образуют множество пифагоровых троек (X,Y,Z) , которые можно получить с помощью соотношений (5) при подстановке в них значений  d = 1,2,3,… и  p = 1,2,3…

Поскольку параметр d принимает только целые значения из натурального ряда, то величина  может быть либо целым, либо иррациональным числом.

Если величина  суть иррациональное число, то из соотношений (6) и (7) следует, что переменные (x, y, z)  целыми числами быть не могут, поскольку они образованы как произведение указанного иррационального числа на переменные (, которые не содержат общего множителя для его компенсации. Другими словами, в данных условиях проверяемую гипотезу H0 мы должны отвергнуть.

Если величина  является целым числом, то из соотношений (6) и (7) видно, что переменные (x, y, z) будут целыми числами только в том случае, когда ( целочисленные. Для получения ответа на вопрос о существовании целочисленных троек  (, рассмотрим характер изменения разности , как функции от величины p, 0 <  <  ∞. Поскольку , то нетрудно установить:

< 0 (8).

Этот результат свидетельствует о том, что при увеличении p  функция  будет монотонно убывающей последовательностью. Причем пределы слева и справа будут соответственно равны: . Виду того, что величина разности

,     0 <  <  ∞. (9)

всегда больше 0 и меньше 1, то с получением неравенства (9) мы можем утверждать, что величины  одновременно целыми числами быть не могут. Этот результат позволяет сделать вывод о том, что целочисленных решений  (x, y, z) уравнение (1) не содержит.

Вторая ситуация соответствует условиям, когда n — нечетное число, а проверяемая гипотеза H0 сводится к доказательству существования целочисленных троек (x, y, z). Несложный анализ показывает, что в этих условиях возможны два варианта.

Первый вариант. Если квадратные корни  , извлекаются и представляют собой целые числа, то нетрудно доказать, что переменные (X, Y, Z) являются целыми числами, а величина  может быть как целым, так и иррациональным числом. Поскольку эти условия полностью соответствуют первой ситуации, то с общим выводом о том, что целочисленных решений (x, y, z) уравнение (1) не имеет, можно согласиться.

Второй вариант. Если хотя бы один из указанных корней ,  не извлекается, то отсутствие целочисленных решений (x, y, z) уравнения (1) становится очевидным фактом.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что уравнение (1) целочисленных решений (x, y, z) не имеет, что и доказывает теорему Ферма. Все.

Вряд ли обычный читатель будет внедряться в эту кухню. Чертыхнется и отложит книгу в сторону. Но пять человек захотят одолеть, для них, настырных и каленых, и пишутся эти строки.

Приводимый здесь материал от Снежко полностью базируется на результатах поиска доказательств его товарищей Феррумова и Георгена, запаливших эту акцию и продолжавших индивидуальный поиск. Снежко проснулся и одержимый идеей простоты попытался применить математическую индукцию. Если вариант проходной, то у него три автора: Феррумов, Георген, Снежко, именно в таком порядке с учетом значимости и вклада.

Вернемся к теореме. Возможно, Пьер Ферма разглядел признак иррациональности в своих выражениях и понял, что признак является инвариантным для любых параметров уравнения (1). Как предлагается рассуждать в приводимом варианте? Еще раз…

Будем проходить перебором весь ряд натуральных чисел, подставляя их в (1) с учетом  и получая произвольно (z). Главный вопрос теоремы Ферма: может ли быть (z) хоть однажды целым числом вместе с  .

Простой перебор и счет на вычислительных средствах могут гарантировать справедливость Великой теоремы Ферма в ограниченной, хотя и большой области параметров.

Нужен поиск принципиальной закономерности, показывающей, например, что при двух целых (x, y)  величина  z не будет целым числом. Никогда.

Для уравнения Ферма   ,  было получено:

(18)

, где dD (множество действительных чисел) (19).

Поскольку мы задаем целые (x, y) всегда, то «растяжка» () при умножении на разные числа  ( дает целые числа, т.е. в () иррациональности нет.  — всегда отношение целых чисел, т.е. рациональное выражение.

, — «иррациональная ловушка» типа . (20)

Степенная функция (20), при (x, y) – целых числах

(21)

не может дать для   целого числа. Как было показано, для целостности  должно быть в (III) не единица, а число .

, где С в несколько раз больше 1. Хорошо бы доказать теорему: степенная функция (III) при (II) целых числах, для n – целого положительного (), является иррациональной функцией.

Снежко не утверждал, что доказательство исчерпывающее, но что построено оно на сущностном признаке, инвариантном к изменению параметров (значений x, y любого показателя ), это очевидно.

В теореме Ферма встретились целые числа эпохи Пифагора и иррациональные числа новой эпохи. Пьер Ферма как бы сказал своей теоремой, что настоящий мир не идеален, а множество действительных чисел, помимо целых, заполнено подмножеством иррациональных, превосходящих по мощности подмножество целых чисел. Все.

P.S. Как-то, занимаясь по математике с внуком и решая примеры с целыми числами, Снеж встрепенулся, когда прочитал, что ноль – целое число. Но тогда, если взять x = 0, то уравнение Ферма вырождается  .  Если  — целое, то и  – целое. Вот оно опровержение теоремы!

Однако, читаем формулировку теоремы Ферма: уравнение:  (1) не имеет решения в целых ненулевых числах (x, y, z).

Какой же Вы смышленый, Пьер Ферма, все черные ходы позакрывали…. Молодца!